2024-2025學年陜西省榆林市多校高二下學期4月期中聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省榆林市多校2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,故選：B2.某影城有一些電影新上映，其中有1部喜劇片、2部文藝片、2部科幻片，小明從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】從5部電影種選擇一部觀看，共有5種方法，故選：A3.若函數在處的導數為1，則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】，故選：C.4.某市政工作小組就民生問題開展社會調研，現派遣三組工作人員對市內甲、乙、丙、丁四區的居民收人情況進行抽樣調査，若每區安排一組工作人員調研，且每組工作人員至少負責一個區調研，則不同的派遣方案共有（）A.12種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】B【解析】先將甲、乙、丙、丁四個區分成三組，即任意選兩個成為一組，剩余兩個各自一組，共種，再將分好的三組不同的區分配給三組工作人員，共有種分配方法；因此共種.故選：B5.如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在上是增函數 B.在上是減函數C.當時，取得極小值 D.當時，取得極小值【答案】D【解析】對于選項A，由圖知，當時，的符號有正有負，不是單調的函數，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當時，是增函數，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極大值點，在處取到極大值，所以選項C錯誤，對于選項D，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極小值點，在處取到極小值，所以選項D正確，故選：D.6.設，隨機變量的分布列如下所示，那么，當在內增大時，的變化是（）012A.減小 B.增大 C.先減小后增大 D.先增大后減小【答案】B【解析】依題意可得，所以，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，即當在內增大時，也增大.故選：B.7.現有紅、黃、藍三種顏色,對如圖所示的正五角星的內部涂色（分割成六個不同區域），要求每個區域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.48種 B.64種 C.96種 D.144種【答案】C【解析】根據題意，假設正五角星的區域為，，，，，，如圖所示，先對區域涂色，有3種方法，再對，，，，這5個區域進行涂色，因為，，，，這5個區域都與相鄰，所以每個區域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方法．故選：C.8.定義：若函數存在個極值點，則稱為折函數．例如，函數為3折函數．已知函數，則為（）（參考數據：，）A.2折函數 B.3折函數 C.4折函數 D.5折函數【答案】A【解析】，函數的極值點問題，等價于的零點問題，令，得，所以將函數的零點個數問題，轉化為函數與函數的圖象在上的交點個數問題．在同一坐標系中，畫出函數和的圖象，由于g所以和在有一個交點，g2π=ln2π>1,g因此和在上有1個交點，所以函數為2折函數.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有9項 B.展開式中的常數項是C.展開式中各項系數之和為0 D.展開式中的二項式系數之和為64【答案】AC【解析】對于A,由于，故展開式共有9項，A正確，對于B，展開式中的常數項為，故B錯誤，對于C,令，則，故展開式中各項系數和為0，C正確，對于D,展開式中的二項式系數之和為，故D錯誤，故選：AC10.如圖，某電子實驗貓線路圖上有，兩個紅綠指示燈，當遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復綠燈后，繼續前行，，兩個指示燈工作相互獨立，且出現紅燈的概率分別為，．同學甲從第一次實驗到第三次實驗中，實驗貓在處遇到紅燈的次數為，則（）A.B.C.D.一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為【答案】ACD【解析】由題意可知，,故A正確，所以，故B錯誤；，C正確，一次實驗中，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故D正確；故選：ACD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.若在上單調遞減，則的最大值為1B.當時，C.當時，D.存在直線，使得與的圖象有4個交點【答案】BCD【解析】，由，解得，的最大值為，故A不正確；當時，，即.設，則，在處取得最小值，故B正確；當時，，即.由B選項的過程知，在時，，在上單調遞減，，故C正確；畫出的圖象如圖，可知存在直線，使得與的圖象有4個交點，故D正確，故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數的導函數為，且滿足，則的值為_____．【答案】【解析】由題意得：，再代入得：，解得：，故答案為：.13.某校共有1000名學生參加了“希望杯”數學競賽，此次競賽成績服從正態分布，請估計競賽成績在65分到75分之間的人數約為_____人．（結果四舍五入保留整數）（參考數據：，，）【答案】341【解析】由于競賽成績服從正態分布，故，故競賽成績在65分到75分之間的人數約為，故答案為：34114.用0、2、3、4、5這五個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有_____個．（用數字作答）【答案】30【解析】若個位數字為0，則百位和十位從剩余4個數字中任選2個排列，可得個符合條件的偶數，若個位數字是2或4，則從除0外的其他3個數字中選擇一個作百位數字，再從剩余數字中選擇一個作為十位數字，此時共有個符合條件的偶數，因此一共有個符合條件的偶數，故答案為：30四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.從甲、乙等5人中選4人參加米接力比賽．（1）求甲跑最后一棒的排法有多少種?（2）求甲、乙均參加，且不相鄰的排法有多少種?解：（1）甲跑最后一棒，從剩下的4人里選出3人排序即可，即；（2）先從剩下的3人里選出2人排好，共種情況，排好的2個人會產生3個空，選2個空，將甲乙排進去即可，共情況，所以總情況為：16.已知函數在時取得極值．（1）求實數的值；（2）求在區間上的最大值與最小值．解：（1）由題得，所以.當時，，當或時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.此時函數在時取得極值，所以.（2）由（1）得，因為，，，.所以在區間上的最大值為，最小值為.17.2025年的農歷新年里，某市傳統民俗文化廟會在歷史文化街區舉辦．廟會設有7個傳統手工藝展示區、11個地方美食攤位區和3個民俗表演舞臺區，街區總面積約2萬平方米．游客可選擇乘坐復古三輪車、騎共享單車或者步行來逛廟會．（1）若游客甲準備在7個傳統手工藝展示區和3個民俗表演舞臺區中隨機選取2個區域游覽，設甲參觀傳統手工藝展示區的數量為，求的分布列及數學期望；（2）為了解游客體驗感受，主辦方隨機詢問了350名首次逛廟會且只選擇一種游覽方式的游客，其游覽方式的統計數據如下表：游覽方式復古三輪車共享單車步行游客人數60120170經統計發現，若游客乘坐復古三輪車逛廟會，則能逛完所有區域的概率為；若游客騎共享單車逛廟會，則能逛完所有區域的概率為，若游客步行逛廟會，則能逛完所有區域的概率為．以頻率估計概率，若游客乙首次逛廟會，選擇上述三種游覽方式中的一種，求游覽結束時乙能逛完所有區域的概率．解：（1）由題意知：所有可能取值為，則有：，，，可知的分布列為：012所以的數學期望為.（2）記事件A為“游客乙乘坐復古三輪車游園”，事件為“游客乙騎共享單車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結束時，乙能參觀完所有區域”，由題意可知：，，由全概率公式可得，所以游園結束時，乙能參觀完所有展園的概率為.18.已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，證明：函數至多有一個零點．解：（1）當時，，則，故，又，故在點處的切線方程為，即（2）的定義域為，，由于，故，當時，在單調遞減，當時，在單調遞增，當時，在單調遞減，故在處取極小值，，因此函數至多有一個零點19.某校為期兩周的高一、高二年級校園籃球賽告一段落，高一小、高二小分別榮獲了高一年級和高二年級比賽的年級MVP（最有價值球員）．以下是他們在各自8場比賽的二分球和三分球出手次數及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小100次80%100次40%小190次70%10次30%現以兩人的總投籃（二分球+三分球）命中率較高者評為校MVP（總投籃命中率=總命中次數÷總出手次數）．（1）小認為，目測小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次小必定能評為校MVP，試通過計算判斷小的想法是否準確?（2）小是游戲愛好者，設置了一款由游戲人物小、小輪流投籃對戰游戲．游戲規則如下：①游戲中小的命中率始終為0.4，小的命中率始終為0.3．②游戲中投籃總次數最多為次，且同一個游戲人物不允許連續投籃．③游戲中若投籃命中，則游戲結束，投中者獲得勝利；若直至第次投籃都沒有命中，則規定第二次投籃者獲勝．若每次游戲對戰前必須設置“第一次投籃人物”和“”的值，請解答以下兩個問題：（ⅰ）若小第一次投籃，設其獲勝的概率為，請證明：當時，小獲勝的概率大；（ⅱ）若小第一次投籃，，設小獲勝概率為，請通過討論說明：小和小誰獲勝的概率大?解：（1）由題意小總出手200次，命中120次，命中率為：，小總出手200次，命中136次，命中率為，故小獲校，所以小的想法不正確；（2）（ⅰ）若第一次投籃人物為小，，小獲勝的概率為，小獲勝的概率為，，故當時，，小獲勝概率大，（ⅱ）若第一次投籃人物為小，，小獲勝的概率為，小獲勝的概率為，則，其中由指數函數的單調性可知：隨著的增大而增大，計算可得：，所以當也就是時，，當也就是時，，綜上：若小第一次投籃，時，小獲勝概率大，時，小獲勝概率大.故當時，若小第一次投籃，時，小獲勝概率大，時，小獲勝概率大.

陜西省榆林市多校2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,故選：B2.某影城有一些電影新上映，其中有1部喜劇片、2部文藝片、2部科幻片，小明從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】從5部電影種選擇一部觀看，共有5種方法，故選：A3.若函數在處的導數為1，則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】，故選：C.4.某市政工作小組就民生問題開展社會調研，現派遣三組工作人員對市內甲、乙、丙、丁四區的居民收人情況進行抽樣調査，若每區安排一組工作人員調研，且每組工作人員至少負責一個區調研，則不同的派遣方案共有（）A.12種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】B【解析】先將甲、乙、丙、丁四個區分成三組，即任意選兩個成為一組，剩余兩個各自一組，共種，再將分好的三組不同的區分配給三組工作人員，共有種分配方法；因此共種.故選：B5.如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在上是增函數 B.在上是減函數C.當時，取得極小值 D.當時，取得極小值【答案】D【解析】對于選項A，由圖知，當時，的符號有正有負，不是單調的函數，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當時，是增函數，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極大值點，在處取到極大值，所以選項C錯誤，對于選項D，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極小值點，在處取到極小值，所以選項D正確，故選：D.6.設，隨機變量的分布列如下所示，那么，當在內增大時，的變化是（）012A.減小 B.增大 C.先減小后增大 D.先增大后減小【答案】B【解析】依題意可得，所以，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，即當在內增大時，也增大.故選：B.7.現有紅、黃、藍三種顏色,對如圖所示的正五角星的內部涂色（分割成六個不同區域），要求每個區域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（）A.48種 B.64種 C.96種 D.144種【答案】C【解析】根據題意，假設正五角星的區域為，，，，，，如圖所示，先對區域涂色，有3種方法，再對，，，，這5個區域進行涂色，因為，，，，這5個區域都與相鄰，所以每個區域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方法．故選：C.8.定義：若函數存在個極值點，則稱為折函數．例如，函數為3折函數．已知函數，則為（）（參考數據：，）A.2折函數 B.3折函數 C.4折函數 D.5折函數【答案】A【解析】，函數的極值點問題，等價于的零點問題，令，得，所以將函數的零點個數問題，轉化為函數與函數的圖象在上的交點個數問題．在同一坐標系中，畫出函數和的圖象，由于g所以和在有一個交點，g2π=ln2π>1,g因此和在上有1個交點，所以函數為2折函數.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有9項 B.展開式中的常數項是C.展開式中各項系數之和為0 D.展開式中的二項式系數之和為64【答案】AC【解析】對于A,由于，故展開式共有9項，A正確，對于B，展開式中的常數項為，故B錯誤，對于C,令，則，故展開式中各項系數和為0，C正確，對于D,展開式中的二項式系數之和為，故D錯誤，故選：AC10.如圖，某電子實驗貓線路圖上有，兩個紅綠指示燈，當遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復綠燈后，繼續前行，，兩個指示燈工作相互獨立，且出現紅燈的概率分別為，．同學甲從第一次實驗到第三次實驗中，實驗貓在處遇到紅燈的次數為，則（）A.B.C.D.一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為【答案】ACD【解析】由題意可知，,故A正確，所以，故B錯誤；，C正確，一次實驗中，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故D正確；故選：ACD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.若在上單調遞減，則的最大值為1B.當時，C.當時，D.存在直線，使得與的圖象有4個交點【答案】BCD【解析】，由，解得，的最大值為，故A不正確；當時，，即.設，則，在處取得最小值，故B正確；當時，，即.由B選項的過程知，在時，，在上單調遞減，，故C正確；畫出的圖象如圖，可知存在直線，使得與的圖象有4個交點，故D正確，故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數的導函數為，且滿足，則的值為_____．【答案】【解析】由題意得：，再代入得：，解得：，故答案為：.13.某校共有1000名學生參加了“希望杯”數學競賽，此次競賽成績服從正態分布，請估計競賽成績在65分到75分之間的人數約為_____人．（結果四舍五入保留整數）（參考數據：，，）【答案】341【解析】由于競賽成績服從正態分布，故，故競賽成績在65分到75分之間的人數約為，故答案為：34114.用0、2、3、4、5這五個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有_____個．（用數字作答）【答案】30【解析】若個位數字為0，則百位和十位從剩余4個數字中任選2個排列，可得個符合條件的偶數，若個位數字是2或4，則從除0外的其他3個數字中選擇一個作百位數字，再從剩余數字中選擇一個作為十位數字，此時共有個符合條件的偶數，因此一共有個符合條件的偶數，故答案為：30四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.從甲、乙等5人中選4人參加米接力比賽．（1）求甲跑最后一棒的排法有多少種?（2）求甲、乙均參加，且不相鄰的排法有多少種?解：（1）甲跑最后一棒，從剩下的4人里選出3人排序即可，即；（2）先從剩下的3人里選出2人排好，共種情況，排好的2個人會產生3個空，選2個空，將甲乙排進去即可，共情況，所以總情況為：16.已知函數在時取得極值．（1）求實數的值；（2）求在區間上的最大值與最小值．解：（1）由題得，所以.當時，，當或時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.此時函數在時取得極值，所以.（2）由（1）得，因為，，，.所以在區間上的最大值為，最小值為.17.2025年的農歷新年里，某市傳統民俗文化廟會在歷史文化街區舉辦．廟會設有7個傳統手工藝展示區、11個地方美食攤位區和3個民俗表演舞臺區，街區總面積約2萬平方米．游客可選擇乘坐復古三輪車、騎共享單車或者步行來逛廟會．（1）若游客甲準備在7個傳統手工藝展示區和3個民俗表演舞臺區中隨機選取2個區域游覽，設甲參觀傳統手工藝展示區的數量為，求的分布列及數學期望；（2）為了解游客體驗感受，主辦方隨機詢問了350名首次逛廟會且只選擇一種游覽方式的游客，其游覽方式的統計數據如下表：游覽方式復古三輪車共享單車步行游客人數60120170經統計發現，若游客乘坐復古三輪車逛廟會，則能逛完所有區域的概率為；若游客騎共享單車逛廟會，則能逛完所有區域的概率為，若游客步行逛廟會，則能逛完所有區域的概率為．以頻率估計概率，若游客乙首次逛廟會，選擇上述三種游覽方式中的一種，求游覽結束時乙能逛完所有區域的概率．解：（1）由題意知：所有可能取值為，則有：，，，可知的分布列為：012所以的數學期望為.（2）記事件A為“游客乙乘坐復古三輪車游園”，事件為“游客乙騎共享單車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結束時，乙能參觀完所有區域”，由題意可知：，，由全概率公式可得，所以游園結束時，乙能參觀完所有展園的概率為.18.已知函數．（1）若，求曲線