2024-2025學年山東省德州市高一上學期11月期中考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，故選：D.2.命題“，函數是奇函數”的否定是（）A.，函數是偶函數B.，函數不是奇函數C.，函數是偶函數D.，函數不是奇函數【答案】B【解析】“，函數是奇函數”的否定是：“，函數不是奇函數”.故選：B.3.用二分法研究函數的零點時，通過計算得：，，則下一步應計算，則（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因為，，且函數圖象連續不斷，所以函數在區間內有零點，所以下一步應計算，，故選：C.4.已知函數則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】由題意，，故選：A5.下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對于，，因為，所以，，所以，即，故錯誤；對于，若，，則，，所以，故錯誤；對于，，因為，，所以，所以，所以，即，故正確；對于，若，，，，則，，所以，故錯誤.故選：.6.已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當時，，由題意得，解得；設，則，所以，因為是定義在上的奇函數，所以，當時，，由題意得，解得；所以的解集是，故選：C.7.若，使成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設函數，因為，使成立，所以在區間上的最大值，因為二次函數的開口向上，對稱軸方程為，所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，因為，結合二次函數的對稱性可知，當時，函數取最大值，最大值，解得；故選：A.8.已知函數若存在實數，使得函數有4個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，函數有4個不同的零點，函數y=fx的圖象和直線有4個交點，函數y=fx圖象如下：由圖可知，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，且，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，且；所以實數的取值范圍是0,1.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“，”是真命題B.命題“，使得”是假命題C.是的充要條件D.是集合中只有一個元素的充要條件【答案】BC【解析】對于A，，顯然時，不成立，故A錯誤；對于B，因為方程在實數集上無解，所以不存在x∈R，使得，故B正確；對于C，當時，可得，當時，可得，故C正確；對于D，當時，方程的解為，此時集合中只有一個元素，當時，方程為，解得，當時，由，解得，故集合中只有一個元素，等價于或；故D錯誤；故選：BC.10.若，，且，則（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】BCD【解析】對于A，因為，，由基本不等式得，即，解得，當且僅當，時，等號成立，所以的最大值是，故A不正確；對于B，因為，，所以，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是，故B正確；對于C，因為，，由，得，即，因為，所以，即，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是，故C正確；對于D，因為，，，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是，故D正確.故選：BCD.11.設，稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，.若，則（）A.B.函數的值域為C.若，則D.點集所表示的平面區域的面積是4【答案】ABD【解析】對于：，故正確；對于：，故正確；對于：當時，，滿足，但，故錯誤；對于：的解為或，當時，或，當時，或，，所以點集所表示的平面區域的面積是4，故正確.故選：.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數的定義域為___________.【答案】【解析】要使函數有意義，須滿足，解得且，故函數的定義域為．故答案為：．13.若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題意，對于方程，，解得，則實數的取值范圍為，故答案為：.14.把一個集合分成若干個非空子集，，，，如果滿足下列條件：①，②，那么這些子集的全體稱為集合的一個劃分，記為.若集合，則集合的一個劃分為____________；利用余數構造集合的劃分是解決子集中元素整除問題的常用手段.設為集的子集，并且中任意兩個元素之和不能被3整除，則中元素個數的最大值為__________.【答案】①.，，（作答時，寫出一個即可）②.676【解析】根據題意，若集合，則集合的劃分有：，，（作答時，寫出一個即可）；對于集合，所有被3除余數為1的元素組成的集合為，元素個數為675；所有被3除余數為2的元素組成的集合為，元素個數為675；所有能被3整除的元素組成的集合為，元素個數為674；由題意，，且中任意兩個元素之和不能被3整除，又因為，集合中任意一個元素與集合中任意一個元素之和能被3整除，所以集合中的元素和集合中的元素不能都屬于集合，因為集合中任意一個元素與集合或與集合中任意一個元素之和都不能被3整除，且集合中任意兩個元素之和都能被3整除，所以當集合中元素個數最多時，集合，其中；或者，其中；故集合中元素個數的最大值為676.故答案為：，，（作答時，寫出一個即可）；676.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知集合，.（1）求集合；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）解不等式可得；所以可得.（2）由可得，當時，可得，解得，滿足題意；當時，可得，即，由可得或，解得；綜上可得，實數的取值范圍為或.16.已知是二次函數，且不等式的解集是.（1）求函數解析式；（2）令，若函數在區間上的最小值為，求實數的值.解：（1）由題意，設fx=ax因為的解集是，所以，且和是方程的解，又，所以，解得，，，所以.（2），所以二次函數y=gx開口向上，對稱軸方程為：，①當，即時，函數y=gx在區間上單調遞增，所以，由，解得；②當，即時，函數y=gx在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，由，解得；不滿足，故舍去；③當，即時，函數y=gx在區間上單調遞減，所以，由，解得；綜上所述，或.17.為了加強“平安校園”建設，保障師生安全，某校決定在校門口利用原有墻體，建造一間墻高為3米，底面面積為40平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米500元，左右兩面新建墻體報價為每平方米400元，屋頂和地面以及其他報價共計4800元，設屋子的左右兩面墻的長度均為米.（1）當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊整體報價最低，并求出最低整體報價；（2）現有乙工程隊也要參與此警務室建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求的取值范圍.解：（1）設工程隊的總造價為元，則，；因為，，所以由基本不等式得，，當且僅當，即時，等號成立；所以當左右兩面墻的長度為米時，甲工程隊整體報價最低，最低整體報價為元.（2）由題意得，對任意成立，即，令，則，所以，對任意成立；又，當且僅當，即時，等號成立；則的最小值為；所以的取值范圍是.18.定義在上的函數滿足：，當時，.（1）求的值，判斷函數的奇偶性，并說明理由；（2）判斷函數在上單調性，并用定義證明；（3）若，解關于的不等式.解：（1）由題意知，函數滿足：，令，則，解得，令，則，解得，函數為偶函數，理由如下：由題意，函數的定義域為，令，則，即，所以函數為偶函數.（2）函數在上單調遞減，證明如下：任取，令，，則，即，因為，則，由題意知，所以，即，所以函數在上單調遞減.（3）由，得；令，則，所以，因為函數為偶函數，所以，當時，因為函數在上單調遞減，所以由，得，即，解得；因為函數為偶函數，且函數在上單調遞減，所以函數在上單調遞增，當時，由，得，所以，解得；綜上所述，不等式的解集為或.19.不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理，用初等數學可以簡單的理解為：對于函數在其定義域內存在實數，使成立，則稱是的一個不動點.已知函數，.（1）當，時，求函數的不動點；（2）當時，若函數有兩個不動點為，，且，，求實數的取值范圍；（3）若函數的不動點為，2，且對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.解：（1）函數的不動點即為的實數根，當，時，轉化為方程的實數根，解得或，所以函數的不動點為和；（2）由題意可得方程有兩個不相等的實數根，即有兩個不相等的實數根，，且，，設，令，解得，所以實數的取值范圍為；（3）由題意可知，2為方程即的兩根，則，解得，，從而，因為，即，由題可知的值域是值域的子集，因為在上是減函數，則，即的值域為，因為且，當時，，不合題意舍，當時，在上是增函數，則，因為，則，解得，當時，在上是減函數，則，因為，則，解得，故的取值范圍是或.山東省德州市2024-2025學年高一上學期11月期中考試數學試題一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，故選：D.2.命題“，函數是奇函數”的否定是（）A.，函數是偶函數B.，函數不是奇函數C.，函數是偶函數D.，函數不是奇函數【答案】B【解析】“，函數是奇函數”的否定是：“，函數不是奇函數”.故選：B.3.用二分法研究函數的零點時，通過計算得：，，則下一步應計算，則（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】因為，，且函數圖象連續不斷，所以函數在區間內有零點，所以下一步應計算，，故選：C.4.已知函數則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】由題意，，故選：A5.下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對于，，因為，所以，，所以，即，故錯誤；對于，若，，則，，所以，故錯誤；對于，，因為，，所以，所以，所以，即，故正確；對于，若，，，，則，，所以，故錯誤.故選：.6.已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當時，，由題意得，解得；設，則，所以，因為是定義在上的奇函數，所以，當時，，由題意得，解得；所以的解集是，故選：C.7.若，使成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設函數，因為，使成立，所以在區間上的最大值，因為二次函數的開口向上，對稱軸方程為，所以函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，因為，結合二次函數的對稱性可知，當時，函數取最大值，最大值，解得；故選：A.8.已知函數若存在實數，使得函數有4個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，函數有4個不同的零點，函數y=fx的圖象和直線有4個交點，函數y=fx圖象如下：由圖可知，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，且，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，且；所以實數的取值范圍是0,1.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“，”是真命題B.命題“，使得”是假命題C.是的充要條件D.是集合中只有一個元素的充要條件【答案】BC【解析】對于A，，顯然時，不成立，故A錯誤；對于B，因為方程在實數集上無解，所以不存在x∈R，使得，故B正確；對于C，當時，可得，當時，可得，故C正確；對于D，當時，方程的解為，此時集合中只有一個元素，當時，方程為，解得，當時，由，解得，故集合中只有一個元素，等價于或；故D錯誤；故選：BC.10.若，，且，則（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】BCD【解析】對于A，因為，，由基本不等式得，即，解得，當且僅當，時，等號成立，所以的最大值是，故A不正確；對于B，因為，，所以，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是，故B正確；對于C，因為，，由，得，即，因為，所以，即，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是，故C正確；對于D，因為，，，當且僅當，時，等號成立，所以的最小值是，故D正確.故選：BCD.11.設，稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，.若，則（）A.B.函數的值域為C.若，則D.點集所表示的平面區域的面積是4【答案】ABD【解析】對于：，故正確；對于：，故正確；對于：當時，，滿足，但，故錯誤；對于：的解為或，當時，或，當時，或，，所以點集所表示的平面區域的面積是4，故正確.故選：.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數的定義域為___________.【答案】【解析】要使函數有意義，須滿足，解得且，故函數的定義域為．故答案為：．13.若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】由題意，對于方程，，解得，則實數的取值范圍為，故答案為：.14.把一個集合分成若干個非空子集，，，，如果滿足下列條件：①，②，那么這些子集的全體稱為集合的一個劃分，記為.若集合，則集合的一個劃分為____________；利用余數構造集合的劃分是解決子集中元素整除問題的常用手段.設為集的子集，并且中任意兩個元素之和不能被3整除，則中元素個數的最大值為__________.【答案】①.，，（作答時，寫出一個即可）②.676【解析】根據題意，若集合，則集合的劃分有：，，（作答時，寫出一個即可）；對于集合，所有被3除余數為1的元素組成的集合為，元素個數為675；所有被3除余數為2的元素組成的集合為，元素個數為675；所有能被3整除的元素組成的集合為，元素個數為674；由題意，，且中任意兩個元素之和不能被3整除，又因為，集合中任意一個元素與集合中任意一個元素之和能被3整除，所以集合中的元素和集合中的元素不能都屬于集合，因為集合中任意一個元素與集合或與集合中任意一個元素之和都不能被3整除，且集合中任意兩個元素之和都能被3整除，所以當集合中元素個數最多時，集合，其中；或者，其中；故集合中元素個數的最大值為676.故答案為：，，（作答時，寫出一個即可）；676.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知集合，.（1）求集合；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）解不等式可得；所以可得.（2）由可得，當時，可得，解得，滿足題意；當時，可得，即，由可得或，解得；綜上可得，實數的取值范圍為或.16.已知是二次函數，且不等式的解集是.（1）求函數解析式；（2）令，若函數在區間上的最小值為，求實數的值.解：（1）由題意，設fx=ax因為的解集是，所以，且和是方程的解，又，所以，解得，，，所以.（2），所以二次函數y=gx開口向上，對稱軸方程為：，①當，即時，函數y=gx在區間上單調遞增，所以，由，解得；②當，即時，函數y=gx在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，由，解得；不滿足，故舍去；③當，即時，函數y=gx在區間上單調遞減，所以，由，解得；綜上所述，或.17.為了加強“平安校園”建設，保障師生安全，某校決定在校門口利用原有墻體，建造一間墻高為3米，底面面積為40平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米500元，左右兩面新建墻體報價為每平方米400元，屋頂和地面以及其他報價共計4800元，設屋子的左右兩面墻的長度均為米.（1）當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊整體報價最低，并求出最低整體報價；（2）現有乙工程隊也要參與此警務室建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求的取值范圍.解：（1）設工程隊的總造價為元，則，；因為，，所以由基本不等式得，，當且僅當，即時，等號成立；所以當左右兩面墻的長度為米時，甲