2024-2025學年山東省東營市多校高一上學期期中考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省東營市多校2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前考生先將自己的姓名、考生號、座號填寫在相應位置，認真核對條形碼上的姓名、考生號和座號，并將條形碼粘貼在指定位置上．2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5mm黑色簽字筆書寫，字跡工整，筆記清楚．3．請按照題號在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效．在草稿紙、試題卷上答題無效．保持卡面清潔，不折疊，不破損．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，故A正確.故選：A2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.如果，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正確．可得，，，故B不正確．可得，，，故C不正確．故選：D．4.已知：，：，則是的（）條件.A.充分必要 B.充分不必要C.既不充分也不必要 D.必要不充分【答案】B【解析】∵：，則，可得，又∵：，由，可得，可得是充分不必要條件.故選：B．5.已知函數滿足．若，則（）A.2 B.1 C.3 D.0【答案】C【解析】令，因為，且，所以，可得，故選：C.6.已知函數在上單調遞增，則m的取值范圍為（）A. B.2,+∞ C. D.【答案】C【解析】因為f(x)在上單調遞增，所以，即.故選：C7.若一系列函數的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數為“孿生函數”，那么函數解析式為，值域為的“孿生函數”共有（）A.4個 B.8個 C.9個 D.12個【答案】C【解析】令,解得，令，解得，函數解析式為，值域為的“孿生函數”的定義域中至少含有和中的一個數，至少含有和中的一個數，可能是，，，，，共9中不同的情況，故選：C.8.若不等式組有解，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式可得；解不等式，即，解得.由于原不等式組有解，則，解得.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，若，則的取值可以是（）A3 B.20 C. D.5【答案】CD【解析】當時，，解得；當時，，解得.故選：CD10.已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（）A. B.不等式的解集為C. D.不等式的解集為或【答案】AD【解析】對于A選項，因為關于的不等式的解集為，則，A對；對于B選項，由題意可知，關于的二次方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，可得，所以，不等式即為，即，解得，故不等式的解集為，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，不等式即為，即，即，解得或，因此，不等式的解集為或，D對.故選：AD.11.數學上，高斯符號（）是指對取整符號和取小符號的統稱，用于數論等領域．定義在數學特別是數論領域中，有時需要略去一個實數的小數部分只研究它的整數部分，或需要略去整數部分研究小數部分，因而引入高斯符號．設x∈R，用表示不超過的最大整數．比如：，，，，，已知函數，則下列說法正確的是（）A.值域為 B.在為減函數C.方程無實根 D.方程僅有一個實根【答案】ACD【解析】當時，；當時，；當時，；當時，，繪制函數圖象如圖所示：A.由圖象知：的值域為，故正確；B.當時，在每一段上單調遞減，但在為不是減函數，故錯誤；C.由的值域為，得方程無實根，故正確；D.當時，解得，當時，，解得，結合圖象知：方程僅有一個實根，故正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知下列表格表示的是函數，則________.【答案】【解析】由表可得，則.故答案為：.13.已知函數滿足：，則______________．【答案】【解析】因為函數滿足①，所以，②，聯立①②得，故.故答案為：.14.已知對一切，，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，，則，所以，，又不等式恒成立，且，可得，令，則原題意等價于對一切，恒成立，當時，，故實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，．（1）求及；（2）若，求．解：（1）由已知或．．．或．（2）．或．所以或.16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．解：（1）依題意，，，且，所以，所以，二次函數的開口向上，對稱軸為，所以當時，取得最大值為，此時.所以的最大值為.（2），當且僅當時等號成立，所以的最小值為.17.已知，命題，不等式恒成立；命題，使得成立．（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）若和至少有一個為真，求實數的取值范圍．解：（1）若命題為真命題，即，不等式恒成立則，可得，解得，因此，若為真命題，則的取值范圍是.（2）若命題為真命題，即，使得成立，則，真假時，；假真時，；，都真時，；因為和至少有一個為真，則，因此，若和至少有一個為真，實數的取值范圍是.18.已知函數，其中．（1）若關于x的方程有兩實數根，且兩實數根之積等于1，求k的值；（2）解關于x的不等式．解：（1）因為，所以由，得，整理得，因為方程有兩實數根，即有兩實數根，所以，則，又兩實數根之積等于1，所以，解得或（舍去），經檢驗，滿足要求，所以.（2）因為，所以由，得，當時，由，解得；當時，易知無解；當時，由，解得；綜上，當時，的解集為；當時，的解集為；當時，的解集為.19.若函數在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數是在上的“美好函數”.（1）函數①；②；③，哪個函數是在上的“美好函數”，并說明理由；（2）已知函數.①函數是在上的“美好函數”，求的值；②當時，函數是在上的“美好函數”，求的值.解：（1）①因為，所以，所以，，得，故是在上的“美好函數”；②因為，所以，所以，，得，故不是在上的“美好函數”；③因為，所以，所以，，得，故不是在上的“美好函數”(2)①由題得，當，可知所以，當時，，此時，，因為函數是在上的“美好函數”所以有；當時，，此時，，因為函數是在上的“美好函數”所以有；故②由題可知此時，函數，可知此時，函數的對稱軸為且開口向上；當時，此時函數在上單調遞減，此時，，因為函數是在上的“美好函數”所以有，解得；當時，此時函數在上單調遞減，在單調遞增，所以當時，，因為函數是在上的“美好函數”所以有；令，解得或所以此時（舍去），（舍去）當時，此時函數在上單調遞増，此時，，因為函數是在上“美好函數”所以有，解得；綜上所述：或山東省東營市多校2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前考生先將自己的姓名、考生號、座號填寫在相應位置，認真核對條形碼上的姓名、考生號和座號，并將條形碼粘貼在指定位置上．2．選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5mm黑色簽字筆書寫，字跡工整，筆記清楚．3．請按照題號在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效．在草稿紙、試題卷上答題無效．保持卡面清潔，不折疊，不破損．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，故A正確.故選：A2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.如果，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，不妨令，，可得，，故A不正確．可得，，，故B不正確．可得，，，故C不正確．故選：D．4.已知：，：，則是的（）條件.A.充分必要 B.充分不必要C.既不充分也不必要 D.必要不充分【答案】B【解析】∵：，則，可得，又∵：，由，可得，可得是充分不必要條件.故選：B．5.已知函數滿足．若，則（）A.2 B.1 C.3 D.0【答案】C【解析】令，因為，且，所以，可得，故選：C.6.已知函數在上單調遞增，則m的取值范圍為（）A. B.2,+∞ C. D.【答案】C【解析】因為f(x)在上單調遞增，所以，即.故選：C7.若一系列函數的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數為“孿生函數”，那么函數解析式為，值域為的“孿生函數”共有（）A.4個 B.8個 C.9個 D.12個【答案】C【解析】令,解得，令，解得，函數解析式為，值域為的“孿生函數”的定義域中至少含有和中的一個數，至少含有和中的一個數，可能是，，，，，共9中不同的情況，故選：C.8.若不等式組有解，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式可得；解不等式，即，解得.由于原不等式組有解，則，解得.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，若，則的取值可以是（）A3 B.20 C. D.5【答案】CD【解析】當時，，解得；當時，，解得.故選：CD10.已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（）A. B.不等式的解集為C. D.不等式的解集為或【答案】AD【解析】對于A選項，因為關于的不等式的解集為，則，A對；對于B選項，由題意可知，關于的二次方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，可得，所以，不等式即為，即，解得，故不等式的解集為，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，不等式即為，即，即，解得或，因此，不等式的解集為或，D對.故選：AD.11.數學上，高斯符號（）是指對取整符號和取小符號的統稱，用于數論等領域．定義在數學特別是數論領域中，有時需要略去一個實數的小數部分只研究它的整數部分，或需要略去整數部分研究小數部分，因而引入高斯符號．設x∈R，用表示不超過的最大整數．比如：，，，，，已知函數，則下列說法正確的是（）A.值域為 B.在為減函數C.方程無實根 D.方程僅有一個實根【答案】ACD【解析】當時，；當時，；當時，；當時，，繪制函數圖象如圖所示：A.由圖象知：的值域為，故正確；B.當時，在每一段上單調遞減，但在為不是減函數，故錯誤；C.由的值域為，得方程無實根，故正確；D.當時，解得，當時，，解得，結合圖象知：方程僅有一個實根，故正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知下列表格表示的是函數，則________.【答案】【解析】由表可得，則.故答案為：.13.已知函數滿足：，則______________．【答案】【解析】因為函數滿足①，所以，②，聯立①②得，故.故答案為：.14.已知對一切，，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，，則，所以，，又不等式恒成立，且，可得，令，則原題意等價于對一切，恒成立，當時，，故實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，．（1）求及；（2）若，求．解：（1）由已知或．．．或．（2）．或．所以或.16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．解：（1）依題意，，，且，所以，所以，二次函數的開口向上，對稱軸為，所以當時，取得最大值為，此時.所以的最大值為.（2），當且僅當時等號成立，所以的最小值為.17.已知，命題，不等式恒成立；命題，使得成立．（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）若和至少有一個為真，求實數的取值范圍．解：（1）若命題為真命題，即，不等式恒成立則，可得，解得，因此，若為真命題，則的取值范圍是.（2）若命題為真命題，即，使得成立，則，真假時，；假真時，；，都真時，；因為和至少有一個為真，則，因此，若和至少有一個為真，實數的取值范圍是.18.已知函數，其中．（1）若關于x的方程有兩實數根，且兩實數根之積等于1，求k的值；（2）解關于x的不等式．解：（1）因為，所以由，得，整理得，因為方程有兩實數根，即有兩實數根，所以，則，又兩實數根之積等于1，所以，解得或（舍去），經檢驗，滿足要求，所以.（2）因為，所以由，得，當時，由，解得；當時，易知無解；當時，由，解得；綜上，當時，的解集為；當時，的解集為；當時，的解集為.19.若函數在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數是在上的“美好函數”.（1）函數①；②；③，哪個函數是在上的“美好函數”，并說明理由；（2）已知函數.①函數是在上的“美好函數”，求的值；②當時，函數是在上的“美好函數”，求的值.解：（1）①因為，所以，所以，，得，故是在上的“美好函數”；②因為